Rovnice - Zachraňte řidiče!

V předchozím dílu jsme zjistili, proč při úpravách provádíme stejné operace na obou stranách rovnice. Pojďme si zkusit najít řešení nějaké jiné rovnice. Třeba výsledkem zachráníme život některému netrpělivému řidiči.

Mám rád příklady ze života, takže se podíváme na případ dvou sebevrahů z mé dnešní cesty domů. ;-) (Neúspěšných sebevrahů.)

Každý den jezdím z a do práce autem. Víceméně stejnou trasou, kterou tedy dokonale znám vč. rozmístění výmolů, děr, kráterů a jiných zpestření jinak monotónní cesty, které nám tam udržuje Krajská správa silnic, nebo jak se ta banda povalečů jmenuje. Ale to jsem lehce odbočil.

Občas se stane, že dojedu pomalejší vůz, který tedy hodlám předjet. A tím se dostáváme k rovnicím.
Dejme tomu, že pojedu rychlostí 90 km/h. Abychom si situaci nekomplikovali, mám tuto rychlost nastavenou na tempomatu, tedy nezrychluji ani nezpomaluji.
Předjížděné vozidlo je kamion vezoucí klády. Pohybuje se rychlostí 60 km/h a ani on nebude po dobu předjížděcího manévru měnit svou rychlost. Jednak mu v tom brání náklad, jednak mu ve zrychlování brání vyhláška o provozu na pozemních komunikacích a jednak by se nám to špatně počítalo. ;-)

Zadání zní: Kolik metrů potřebuji na předjetí kamionu, když kamion měří 17 metrů a dalších 15 metrů před ním i za ním budu potřebovat na zahájení a dokončení předjížděcího manévru?

Nejprve si rozmyslíme, co nám to zadání vlastně říká.
Kamion pojede svou rychlostí a já zahájím předjížděcí manévr. Za dobu, než jej dokončím, ten kamion ujede nějakou vzdálenost. A já ujedu vzdálenost tutéž a navíc ještě 17 (délka kamionu) + 15 (mezera při začátku předjížední) + 15 metrů (na zařazení zpět do jízdního pruhu).

Důležité informace jsou:
- stejná doba
- známe rychlosti
- známe (třeba z fyziky) vztah mezi časem, rychlostí a vzdáleností: t = s / v

Stejná doba znamená rovnost:
to = tk
(čas osobního = čas nákladního automobilu)

Ještě než se pustíme do řešení, upravíme si vstupní údaje tak, aby měly vzájemně "kompatibilní" jednotky. A protože předpokládáme, že předjížděcí manévr dokončíme na dráze kratší než 1 km, jeví se použití metrů a sekund jako výhodnější.

Vzdálenosti (oněch 47 metrů) již v metrech máme, převedeme tedy obě rychlosti. Rychlost se převede tak, že se údaj v km/h vydělí číslem 3.6. (Kilometr má 1000 metrů, hodina má 60 minut po 60 sekundách, tedy 60 * 60 = 3600 s.)

vo = 90 / 3,6 = 900 / 36 = 100 / 4 = 25 m/s
vk = 60 / 3,6 = 600 / 36 = 100 / 6 = 50 / 3 m/s, tedy cca 16,67 m/s.

Použijeme vzorec:
so / vo = sk / vk

Na první pohled je tam nějak moc neznámých, ale v úvaze o kousek výše jsme si ujasnili, že dráha ujetá osobním autem je o 15 + 17 + 15 metrů delší. Platí tedy:
so = sk + 47

Protože chci, aby neznámou byla vzdálenost so, upravím ten vztah úplně stejně jako jakoukoli jinou rovnici. Na pravé strane potřebuji jen sk, tedy tu pravou stranu zmenším o 47:
sk + 47 - 47

Aby zůstala rovnost zachována, musím tutéž operaci provést i na levé straně:
so - 47

Rovnice po této úpravě tedy bude:
so - 47 = sk + 47 - 47
so - 47 = sk

Případně:
sk = so - 47

Vrátíme se zpět k výše uvedenému vzorci:
so / vo = sk / vk

so / 25 = (so - 47) / (50 / 3)
Takhle na počítači vypadá ten zápis ještě hůře než na papíře. :-)
(MathML nefunguje ve všech prohlížečích, tak jsem to zapsal takhle nehezky.)

Na levé straně rovnice je 25tina nějaké hodnoty. Jak z ní udělám jednu celou hodnotu? 25krát ji zvětším, neboli vynásobím. A když upravuji jednu stranu rovnosti, musím samozřejm - a už to nebudu opakovat, protože si to všichni pamatujeme - vynásobit i pravou stranu.

so = 25 * (so - 47) / (50 / 3)

Teď podobně násobím tím, co je po zlomkovou čarou, v tzv. jmenovateli, na pravé straně:
(50 / 3) * so = 25 * (so - 47)
50 * so / 3 = 25 * (so - 47)

Nyní se stejným způsobem zbavíme třetiny na levoboku. :-)
50 * so = 3 * 25 * (so - 47)

Už jsou tam nějak moc vysoká čísla. Co kdybychom se jich zbavili? Vidíme tam 25ku a 50ku, což úplně bije do očí, takže dělíme 25, abychom se té 25ky zbavili.

2 * so = 3 * (so - 47)
2 * so = 3 * so - 141

Je na čase se pokusit spočítat hodnotu té neznámé. To provedeme tak, že ji převedeme na jednu stranu rovnice. Proč? No... není to úplně nutné, ale ne každý dokáže určit hodnotu neznámé, pokud ji ponechá na obou stranách rovnosti.

0 = 3 * so - 141 - 2 * so

3 vzdálenosti bez dvou vzdáleností, to vždycky byla jen jedna vzdálenost. Už se blížíme k cíli. ;-)
0 = so - 141

A velké finále:
141 = so, neboli
so = 141 m

Na předjetí tedy bude zapotřebí 141 metrů.
Což tedy mimochodem je asi jeden-a-půl násobek délky fotbalového hřiště.

Takže kdyby ti dva kandidáti na Darwinovu cenu měli tuto informaci, věděli by, že před zatáčkou nestihnou dokončit předjížděcí manévr, že budou vlastně teprve v jeho polovině, a tudíž že jejich setrvání ve stavu celistvém bude záležet vlastně jen na tom vousatém staříkovi kdesi v oblacích.

Kromě toho můžeme snadno spočítat, že v předjížděcím pruhu setrvají více než 5 sekund. To je strašně dlouhá doba. A přitom ten náš kamion jede žalostně pomalu.

Ale zpět k rovnicím. Všimli jste si, že jsme si nikde nedefinovali žádná pravidla o převodech z jedné strany rovnice na druhou, o změnách znamének, atd.? Čím méně pravidel je třeba (si pamatovat), tím lépe. A čím lépe něčemu rozumím, tím méně pravidel si musím pamatovat.

Což platí i v životě, nejen v matematice. ;-)
Takže Vám na závěr přeji co nejméně zbytečných pravidel.

(Ano, mohli jsme si říci, že se vůči kamionu pohybuji rychlostí 30 km/h a výpočet by byl jednodušší. Na druhou stranu bychom neměli tak pěkný příklad na rovnice. ;-))